ВНИМАНИЕ!

Работаю во всех субъектах РФ!

Банкротство ИП, ООО на очень выгодных условиях в следующих регионах:

г.Москва и Московская область,             г.Санкт-Петербург и Ленинградская область, Псковская область, Новгородская область, Вологодская область, Мурманская область, Республика Карелия.

Обращайтесь, справимся с любой задачей!

 

Услуги по банкротству  и  стоимость

Оценка вероятности банкротства страховой компании в классической модели риска

СтоимостьУслуги.

Классический процесс риска, описывающий эволюцию во времени капитала  страховой компании, задается соотношением

,

где t – время; u – начальный резерв страховой компании; c – интенсивность поступления премий;  – агрегированные выплаты требований к моменту  - независимые одинаково распределенные случайные величины (ущербы) с функцией распределения  и средним значением  при  – число выплат к моменту t (пуассоновский процесс с интенсивностью ).

Известно, что функция вероятности небанкротства на бесконечном интервале времени  при начальном капитале u удовлетворяет интегральному уравнению:

 (1)

Это уравнение является интегральным уравнением Вольтерра и допускает аналитическое решение только в частном случае показательного распределения страховых выплат [3]. Поэтому наша работа была посвящена численному нахождению  методом последовательных приближений, в частности мы рассматриваем гамма-распределение и распределение Вейбулла в качестве . Как известно, правая часть уравнения Вольтерра (1) является оператором сжатия, поэтому оно имеет единственное решение, которое можно найти методом последовательных приближений Пикара.

В работе [1] показано, что для рассматриваемого уравнения Вольтерра (1) сжатие имеет место на каждой итерации с коэффициентом

 (2)

равномерно по всем , что обеспечивает высокую скорость сходимости при всех . Показано, что при старте из начальных функций  и последовательные приближения монотонно сходятся к решению .

На основании теоретически обоснованного в работе [1] метода последовательных приближений для решения уравнения вероятности неразорения нами была написана компьютерная программа на языке Basic, позволяющая находить численные значения решения этого уравнения для любых начальных параметров и функций распределения, отвечающим указанному условию для сжатия (2) на каждой итерации, с наперед заданной точностью.

Но поскольку численное решение этого уравнения является затратным по времени для современных персональных компьютеров для больших значений начального капитала, в работе были рассмотрены аппроксимации вероятности неразорения, такие как аппроксимации Беекмана-Боуэрса, Де Вильдера и диффузионная. Они строятся из иных соображений, нежели уравнение для вероятности неразорения, и позволяют находить приближенное значение вероятности неразорения с меньшими временными затратами.

Для аппроксимации Беекмана-Боуэрса [2]:

, (3)

где

.

Идея построения аппроксимационной формулы заключается в замене  в формуле (3) гамма-распределением , первые два момента которого совпадают с моментами .

Гамма-распределение имеет вид: .

В качестве функции , кроме оригинальной в этом случае функции гамма-распределения, нами использовалась также функция распределения Вейбулла.

Распределение Вейбулла имеет вид: .

Моменты .

Функция распределения Вейбулла является обобщением частного случая гамма-распределения и тоже может быть использована для моделирования поступления требований к страховой компании.

При этом задача нахождения параметров распределения Вейбулла при известных математическом ожидании и дисперсии не является столь тривиальной, как для гамма-распределения. С помощью maple, мы решали систему уравнений, составленную на основании выражений для моментов функции распределения Вейбулла:

Результаты расчетов для различных начальных параметров, как значений вероятности неразорения , полученных численным решением уравнения Вольтерра с помощью компьютера, так и приближенных, полученных с помощью аппроксимаций, а также сравнение результатов между собой представлены в ряде примеров, один из них приведем здесь.

Пусть выплаты имеют распределение Вейбулла с математическим ожиданием , и дисперсией . Пусть также .Тогда первые три момента: ,. В таблице приведены значения , рассчитанные по методу последовательных приближений, значения при аппроксимациях, погрешность для этих аппроксимаций.

Капитал (u)

Численное решение

Аппроксимация Беекмана-Боуэрса

Аппроксимация Беекмана-Боуэрса

 

Вероятность неразорения 

Вероятность неразорения при функции гамма-распределения

Относительная погрешность

Вероятность неразорения при функции Вейбулла

Относительная погрешность

500

0.87291

0.87242

-0.056%

0.87453

0.186%

600

0.91007

0.91120

0.125%

0.91267

0.285%

700

0.93624

0.93805

0.193%

0.93892

0.287%

800

0.95457

0.95669

0.222%

0.95711

0.266%

900

0.96734

0.96968

0.242%

0.96978

0.253%

1000

0.97624

0.97875

0.256%

0.97864

0.246%

Капитал (u)

Численное решение

Диффузионная аппроксимация

Аппроксимация Де Вильдера

 

Вероятность неразорения 

Вероятность неразорения

Относительная погрешность

Вероятность неразорения

Относительная погрешность

500

0.87291

0.89163

-145%

0.86930

-0.413%

600

0.91007

0.93052

-247%

0.90978

-0.032%

700

0.93624

0.95545

-052%

0.93772

0.159%

800

0.95457

0.97143

1.767%

0.95701

0.256%

900

0.96734

0.98168

1.483%

0.97033

0.309%

1000

0.97624

0.98826

1.230%

0.97952

0.335%

На основании этих и других примеров можно сказать, что наиболее точной из рассмотренных аппроксимаций является аппроксимация Де Вильдера. Аппроксимация Беекмана-Боуэрса дает более точный результат с функцией гамма-распределения, чем с функцией распределения Вейбулла для небольших значений начального капитала, причем независимо от функции распределения выплат . Для больших значений начального капитала аппроксимация Беекмана-Боуэрса дает более точный результат с функцией распределения Вейбулла, чем с гамма-распределением. Наименее точные значения получаются при диффузионной аппроксимации. Полученные результаты позволяют планировать стратегию страховой компании в зависимости от величины начального капитала.

top.dp.ru